複利計算の近似値暗算手法「72の法則」にみる検算と数学の大切さ

いま、日本でおそらくもっとも人気の高いソーシャルブックマークのはてなブックマークでは、「ITmedia Biz.ID：複利計算を“暗算”で行う」という記事が300近いブックマークを集めている。

その記事の内容は、複利計算における、「72の法則」と呼ばれる暗算可能な近似計算手法の紹介である。たとえば金利4%だとして、元金が2倍となるのは何年後か知りたいとする (税金は考慮しない)。単利なら25年後 (100 ÷ 4) とすぐに暗算できるが、複利では簡単に暗算できないように思える。ところが、72を金利 (%) で割って、72 ÷ 4 ＝ 18年、というように近似計算できるというのが、「72の法則」である。 試しに表計算ソフトの Excel を使って正確な期間を検算すると約17年8か月後 (年単位の複利とし、月単位は12分の1の単利で計算) となった。確かに近似計算できている。

正直言って私は「72の法則」を知らなかったが、投資や金融に明るい人の間では広く知られている暗算手法らしい。はてなや ITmedia にアクセスする人というのは、どちらかというと、ネット関連の先進的な事柄には詳しくても、お金の話には疎いのかもしれない (苦笑)。知っている人は知っているという話であるならば、はてなブックマークにおける注目の集まり度合いは、いささか過熱気味だということになる。

この「72の法則」の数学的根拠は、二項定理のテイラー展開であり、大学教養課程 (もしくは高校数学の応用) のレベルである。元の記事においては、「テイラー展開」という言葉は使用せずに要点を簡単に解説している。たぶん、どこかの投資指南書に載っている話の引用であろうし、言われてみれば確かにそうだね、というレベルの話ではある。しかし、こうした実社会で使える数学の事例というのは、無責任な「数学なんか役に立たない」論への反論材料としても貴重だろう。勉強させてもらったと率直に思う。

しかし、この元の記事には、「それは違うだろ」という誤用も見られる。

3000万円の家を2％ローンで買った──。この場合の合計支払額をざっくり暗算するなら、72÷2＝36。つまり36年で額はだいたい2倍となる。ロー ンの場合、徐々に元本も減っていくので細かな数字は変わるが、いわゆる35年ローンならば6000万円程度を合計で支払うことがすぐに分かる。

(ITmedia Biz.ID：複利計算を“暗算”で行う より引用)

「徐々に元本も減っていく」ことに気づいていながら、なぜそんな計算になってしまうのか？これについても検算してみたら、支払総額は4173万9109円となった (元利均等、月単位の複利、毎月定額支払で計算し、計算途中での四捨五入は無し)。6000万円も払う必要はない (笑)。こうしたローンの支払いについては、よく知られた (暗算は無理だが) 便利な計算式がある (Googleで検索してもすぐに見つかる) ので、すぐに検算できる。もっとも、検算するまでもなく間違いであることに気づくべき、明らかな誤用でもある。

しかし今のところ、はてなブックマークのコメントには、間違いを指摘するものは一つもない。スルーしているのか？それとも鵜呑みにしてしまっているのか？

さて、Google で「72の法則」を検索してみると、All About の記事が検索結果のトップとなる。面白いことに、貯金を2倍に増やしたい人向けと、借金が2倍になるのが困る人向けと、両サイドの記事がトップに表示されている。

そのうち、借金サイドの「借金はいつ２倍になる？　変則｢７２の法則｣ - ［お金を借りる・返す］All About」において、不適切な「72の法則」の適用例が示されていた。

上限金利29.2％だと…　2年半で到達！

グレーゾーン金利で話題になっていますが、出資法の上限、29.2％だと一体どんなスピードで倍に達するのでしょうか？

（72÷29.2％＝2.465）　2年半ほどで、倍になるのです。

(「借金はいつ２倍になる？　変則｢７２の法則｣ - ［お金を借りる・返す］All About」2ページ目 より引用)

29.2%ほどの高金利でこのような近似計算は不適切だということの理解が、この記事の執筆者 (ガイドの横山光昭さん) には欠けていると言わざるを得ない。テイラー展開を知っている人なら、この「72の法則」という近似計算は、0の近傍 (つまり低金利) においてのみ適用可能だということに気づくだろう。なお、ITmedia の記事では「0～15%程度の場合」としており、この点について適切に説明している。

これについても検算してみたら、2年8か月を数日過ぎた時に、借金が2倍となる (年単位の複利とし、月単位は12分の1の単利で計算)。たいした誤差ではないと思う人もいるかもしれないが、1割も誤差が生じてしまうようでは、お金に関する大事な話であれば、別途検算が必要である。

それに、これはあくまで近似解を求める暗算手法の紹介である。記事のような文書に記す (検算できる状況にある) 際に、正確な期間を計算して誤差を示すことなく「2年半で到達！」という見出しを打つのは、やはり、不適切な誇張である。

だいたい、単利とみなして暗算 (100 ÷ 29.2) したって3年あまり (約3.4年) となるのだから、複利ならだいたい3年かそれより少々短いという程度までは見当がつく。また、電卓があれば、1×1.292とした後に「＝」を3回連打すれば、3年未満で2倍になることはすぐに分かる。それに、72 ÷ 29.2 って、誰にとっても簡単な暗算だろうか？さして正確でもない近似計算の暗算を無理にやるよりは、コンピュータを使って正確に計算したほうがよい。29.2%という金利において、「72の法則」を持ち出す意義はない。

「72の法則」の有用性を理解し、同時にその限界を把握するためには、自分で検算して確認してみること、そして、数学についての理解が必要である。あるいは、数学に強くなくても、せめて検算してみることである。それは「72の法則」に限ったことではなく、数学的に見える事柄すべてに当てはまることだろう。

「発掘『捏造』！あるある大事典II」と遺跡発掘捏造との共通性

美容・ダイエット宣伝番組として知られる「発掘！あるある大事典II」 (フジテレビ系、関西テレビ制作) についてのブログ記事を書こうかとネタ集めをしているうちに、とんでもない真実を昨日 (1月20日) のNHKのニュースで聞かされた。出遅れてしまった。

1月7日に放映された、納豆のダイエット効果をPRしたこの番組の内容は、捏 (ねつ) 造であった。しかも、捏造であることを関西テレビ社長は謝罪会見でもなかなか認めようとしなかった。

ねつ造は、被験者の架空の検査データを作成したり、米国の教授のコメントを勝手に作るなど悪質なものだったが、千草社長は「事実と異なる部分があった」と 当初、繰り返すだけで、「ねつ造」と認めようとしなかった。記者団から問題の認識について再三、追及を受けた結果、会見最後になって「ねつ造だと思っている」と認めた。番組内容のチェック体制についても、最初は「若干の不備」と話すだけだった。

(中略)

ねつ造の発覚は、週刊誌から１２日と１８日に取材を受けたことがきっかけ。記者会見後には、週刊誌記者の追及を受けて、週刊誌からの質問状を元に会見での発表資料を作成したことを認めるなど、後手後手の対応が目立った。

(Yahoo!ニュース - 毎日新聞 - ＜番組ねつ造＞関西テレビ社長会見　認識甘く、後手後手 より引用)

「番組内容を取り消さないのか」と問われると、千草社長は表情をこわばらせながら「納豆のダイエット効果は学説で裏付けられている。番組の根幹部分で違っていたかは調査中だ」と説明するにとどまった。

さらに「架空のデータや無関係の写真を使っており明らかに捏造ではないか」と問われ、千草社長はようやく「個々のデータについては捏造があった」と述べた。

それでも千草社長は、番組全体を捏造だと認めることには、抵抗を続けた。会見終了間際にも「（捏造を）認めていないわけではない。データ的にはそうだったと認識している」と繰り返し、「番組全体では私たちは事実に基づいてやっているわけだが、信頼感をなくしたことは事実で、深く反省したい」と答えるにとどまった。

(asahi.com：関西テレビ社長、「捏造」渋々認める　納豆ダイエット より引用)

毎日新聞の記事に出てくる「週刊誌」というのは週刊朝日のことで、1月16日発売の週刊朝日には「「発掘！あるある大事典II」が絶賛した 納豆ダイエットは本当に効くの？」という記事が掲載されていた。「視聴者の皆様」へと題する現時点の関西テレビのお詫びは、週刊朝日記者の質問状の受け売りである。取材調査能力のないテレビ局の社長に、「納豆のダイエット効果は学説で裏付けられている。番組の根幹部分で違っていたかは調査中だ」などと言われても、誰も信用しないだろう。

番組名から、図らずも「発掘捏造」(毎日新聞旧石器遺跡取材班) という書籍を思い出す。その続編の「旧石器発掘捏造のすべて」については Amazon.co.jp でレビューを書いていた。このブログ記事のタイトルはそこから採ったものである。「あるある」についても前々からそう呼称したかったのを自粛していたが、今なら、名誉棄損などには当たらない。

その発掘捏造と今回の捏造に共通するのは、やはり商業主義との不健全な結びつきである。

　10月16日深夜、報道部会議室でミーティングを開いた。まず山本が上高森遺跡発掘の大まかなスケジュールを報告した。4日後の20日に調査隊が集合し、21日から本格的にスタートする。27日が記者発表、29日が一般向けの現地説明会の予定という。
「やっぱり、記者会見が決まっているの？」
　山田が口をはさむ。そもそも発掘にあたって、新たな石器を発見できるかどうかは分からないのに、あらかじめ記者会見を設定すること自体、おかしな話だった。だが、東北旧石器文化研究所が主体となる発掘調査では、事前に記者会見の日程が決まっているのが普通だった。

(毎日新聞旧石器遺跡取材班. 「発掘捏造」. 毎日新聞社, 2001年, p104.)

商業主義に基づくスケジュールがあらかじめ決められており、それにのっとった「発掘」が期待され、要求される。捏造した当事者だけでなく、利益を得る取り巻きにも批判の目が向けられるべきで、書籍においては毎日新聞記者の自戒の念が記述されている。

そもそも、一般の関心を引き (高視聴率が見込め)、なおかつ確かな根拠のある「発掘」(研究発表) など、毎週の放映でできるはずがない。本当に価値のある科学的発掘には、見積もり不能なリスクとコストが伴うはずである。番組の内容に合う実験結果なんて、そうそう得られるものではない。スケジュールが決まっている「発掘」なるものは、最初からウソだと思っておいたほうがいい。

さらに、「あるある」における、その商業主義に基づくスケジュールについて、看過できない記事を目にしていた。

フジテレビ系列の『発掘！あるある大辞典II』は前まえから「放送内容が事前に流通サイドに流れている」という噂があった。大手スーパーがそれらＴＶの放映情報を元に、該当商品を大量に買い占めている、という内容だ。このため、零細商店は影響をこうむり数日間、ときには数カ月に渡って欠品状態が発生しているのだ。

このたび、納豆製造元のある食品メーカー（長野県・飯田市）が流通側に出した文書を入手した。『「あるある大辞典II」納豆特集の放映の案内のご案内』という表題で、平成18年12月21日付だ。つまり、同番組の放映の二週間以上も前に、納豆メーカーから大手流通関係者に流れた情報提供の案内文だった。

(livedoor ニュース - フジ系列　『発掘！あるある大辞典II』、放映前に内容が大手に漏洩（上） (1月14日) より引用)

この、長野県飯田市に本社がある、大手流通関係者とも関係がある大手の納豆業者というのは、ほぼ間違いなく旭松食品のことだろう。事前に番組内容が流れること自体は一歩譲って問題ないとしても、一部の流通関係者だけに公共の電波の内容が伝わるというのはいかがなものか。

さらに、旭松食品の株価チャート (Yahoo!ファイナンス)を調べてみると、「あるある」放映後の大商いはともかくとして、番組の内容が旭松食品から関係者に流されたとするその2006年12月21日にも、平常時と比べると出来高が増えていることが分かる。もちろん、実際の原因は分からない。ただし、たとえそうした情報を知った者による株取引があったとしても、このケースでは証券取引法違反とはならないだろう。やはり、株取引なんていうのは、いかにして有利な情報が手に入るかで勝ち負けが決まってしまう、非対称な不完全情報ゲームである。

さて、この「あるある」には有名な批判サイトがある。鷺一雄さんの「教養ドキュメントファンクラブ」がそれで、この方は「また「あるある」にダマされた。」という書籍も出版している。実は私は、1月7日放映分の当該番組を視聴していない。この批判サイトを時々閲覧して楽しんでいたクチで、「納豆ブーム」に直面してあらためてこのサイトを閲覧し、番組内容を知った次第である。今日 (1月21日) またこのサイトを見てみると、関西テレビが捏造を認めたことを早速取り上げていた (鷺さんのところにも週刊朝日記者から電話取材があったようである)。

おそらく、鷺さんの以下の記述が、「納豆ダイエット」なるものの本質だろう。

要はこのダイエットの本質は、食事前に重たい納豆を腹一杯ぶち込んで、食事量を減らしましょうというだけの話。納豆を宣伝したいという意図が露骨にあるから、まるで納豆が特別な食品のように言っているが、そんなことはまるでないわけである。だからこれは納豆でなくても、例えば食事の野菜の比率を増やすなどでも覿面に効果がある。むしろ逆に、納豆ばかりこんなに摂りまくったら、その方がバランスの崩れで危険である。

(中略)

全く、新年早々やってくれるわ・・・。それにしてもこの番組のパターンって、いつも同じだな。食事前にヨーグルトをたらふく腹にたたき込むか、同じく食事前に寒天をたらふく腹にたたき込むか、やはり食事前にリンゴとミカンをたらふく腹にたたき込むか、いずれにしてもこの腹にたたき込む食材に、その時の宣伝したい食材を持ってきたら、番組が一本できあがるというわけである(まあさすがに、食事前に饅頭を腹一杯たたき込むというわけには行かないだろうが)。あほくさ。

(鷺一雄「発掘あるある大事典」(教養ドキュメントファンクラブ) より引用)

まったく「あほくさ」なのだが、一定数の視聴者が真に受け感化されてしまっているのも事実である。例の「あるある」の放映直後、私の勤務先の社員食堂でも納豆が品薄となった。私はもともと週に2～3パック程度の納豆を食べる人で、「あるある」を真に受けて納豆を手にする人々を疎ましく思っていた。

結局「あるある」は、表現の自由が許される著作物を組み合わせて薬事法や健康増進法の規制をすり抜ける、典型的なバイブル商法の片棒担ぎに過ぎなかった (1月22日、26日訂正: 当初「体験談を主体とした広告」とも記載していたが、体験談の広告でも法令違反の可能性があるため記載を削除。また「健康増進法」を追加)。科学でないものを科学っぽく見せる、いわゆるニセ科学でもあった。「発掘！あるある大事典II」の公式サイトを開くと、「あるある」の名前を使って商品を販売する業者と当番組とは一切関係ないとの「ご注意！」が表示されるが、なにをかいわんや、である。今日 (1月21日) の放映は休止するそうだが、番組自体の構造に問題があると言わざるを得ず、番組の打ち切りが妥当だろう。

ただ、「あるある」の場合は科学っぽく見せる実験すら捏造しており、稚拙なウソでもあったからこそ今回発覚した。もっと巧妙なウソに対しても、「捏造」とか、「ニセ」とか、「あほくさ」とか、いちいち誰かが言い続けなければならない。だまされる人が悪いのだ (放っておけばいい) という意見もあるが、そうした主張を、ニセ科学批判で知られる大阪大学教授の菊池誠さんは、「傍観しているだけでは、結局自分の首を絞めることになる」「科学とニセ科学は"市場"(受け入れる人たち)が同じ」と戒めている、もしかしたら私自身にも、自分の職業上の得意な分野で、何らかの責任が生まれてしまうことがあるのかもしれない。昔は発言自体不可能だったが、今ならインターネットという手段がある。そうした状況であることを自覚した上で、あふれかえる情報に接していかなければならない。